Polynôme du Second Degré

Section I : Généralités & Forme Développée

Définitions & Vocabulaire

Un polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut se ramener sous la forme d'un bloc de degré 2.

La forme développée est son écriture brute ou standardisée :

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

où les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres réels fixés, avec la restriction absolue de rigueur : \(a \neq 0\).

La parabole correspond à sa représentation courbe dans un repère. C'est un profil symétrique présentant une courbure régulière.

Courbe orientée vers le haut (\(a > 0\))
Courbe orientée vers le bas (\(a < 0\))

Propriétés géométriques

Si \(a > 0\) (Positif)

La parabole "sourit". La fonction est d'abord décroissante puis croissante. Elle admet un minimum global.

Si \(a < 0\) (Négatif)

La parabole est "triste". La fonction est d'abord croissante puis décroissante. Elle admet un maximum global.

Objectifs & Utilité pratique

  • Rigueur Algébrique : Identifier directement les coefficients réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour amorcer l'usage des outils d'analyse (calcul du discriminant \(\Delta\)).
  • Physique & Cinématique : Modéliser la trajectoire de tout projectile soumis à la gravité (ballon, flèche, saut) dont l'altitude suit une courbe parabolique exacte.
  • Économie & Optimisation : Déterminer les seuils de rentabilité et identifier le volume de production idéal maximisant le bénéfice net d'une entreprise.
📝 Exercice 1 : Rappels de Seconde - Notion de Fonction (Difficulté •◦◦)
1. Rappelez les définitions de fonction, image, antécédent. Vous accompagnerez ces définitions d'une représentation graphique.

2. On considère la courbe représentative suivante d'une fonction \(f\) :
x y O 1 2 1 2 Cf
  1. Déterminer \(f(1)\).
  2. Résoudre l'équation \(f(x) = 1\).

3. On considère la fonction \(h : x \rightarrow 3x^2 - 5x + 2\).
Calculer \(h(0)\), \(h(3)\) et \(h(-1)\).
📝 Exercice 2 : Équations fondamentales du type \(x^2 = k\) (Difficulté •◦◦)
  1. Sur votre cahier, tracer un repère orthogonal et construire la courbe représentative de la fonction carré.
  2. Résoudre graphiquement l'équation \(x^2 = 9\).
  3. On cherche à résoudre \(x^2 = k\) où \(k\) est un réel.
    1. Donner les solutions dans le cas où \(k>0\).
    2. Donner les solutions dans le cas où \(k=0\).
    3. Donner les solutions dans le cas où \(k<0\).

Indication : On pourra toujours s'aider de la représentation graphique réalisée.

📝 Exercice 3 : Détermination graphique des signes de \(a\), \(b\) et \(c\) (Difficulté ••◦)
On considère la courbe représentative d'un polynôme du second degré d'expression \(f(x) = ax^2 + bx + c\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des coefficients réels inconnus.
x y O
A l'aide du graphique ci-dessus, déterminer, en justifiant soigneusement votre démarche, les signes respectifs des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).
📝 Exercice 4 : Association d'Expressions Algébriques et de Courbes (Difficulté ••◦) - BUGGEE
On considère ci-dessous les représentations graphiques de cinq polynômes du second degré distincts.
Échelle : 1 carreau = 1 unité graphique (Repères orthonormés).
Associer à chaque courbe l'expression du polynôme correspondant en justifiant soigneusement votre choix.
xyO Courbe \(\mathcal{C}_1\)
xyO Courbe \(\mathcal{C}_2\)
xyO Courbe \(\mathcal{C}_3\)
xyO Courbe \(\mathcal{C}_4\)
xyO Courbe \(\mathcal{C}_5\)

Expressions des polynômes :

  • \(P_a(x) = -x^2 + 2x - 3\)
  • \(P_b(x) = x^2 + x + 3\)
  • \(P_c(x) = 2x^2 - 5x + 3\)
  • \(P_d(x) = -2x^2 - 5x + 3\)
  • \(P_e(x) = x^2 + x + 0,25\)
📝 Exercice 5 : Détermination de coefficients par un système linéaire (Difficulté •••)
On considère trois réels \(a\), \(b\), \(c\) avec \(a \neq 0\). On pose la fonction \(f : x \rightarrow ax^2+bx+c\).

Déterminer par le calcul les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) telles que la courbe représentative de la fonction \(f\) passe par les points d'ancrage suivants :

\(f(0) = 4\) ,      \(f(1) = 6\)      et      \(f(2) = 6\)

Forme Canonique

Section II : Changement de Regard & Sommet

Définitions & Vocabulaire

La forme canonique s'écrit stratégiquement sous la forme :

\(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\)

où \(a\), \(\alpha\), \(\beta\) sont des réels fixés, avec \(a \neq 0\).

Le sommet \(\mathcal{S}\) de la parabole a pour coordonnées exactes :

\(\mathcal{S}(\alpha \;;\; \beta)\)
\(a > 0\) (Sourire) \(\mathcal{S}\) \(\alpha\)\(\beta\)
\(a < 0\) (Triste) \(\mathcal{S}\) \(\alpha\)\(\beta\)

Propriétés fondamentales

  • Calcul des paramètres : Si \(f(x) = ax^2 + bx + c\), alors :
    \(\alpha = -\frac{b}{2a}\)
    \(\beta = f(\alpha)\)
  • Symétrie : La parabole admet la droite verticale d'équation \(x = \alpha\) comme axe de symétrie.
  • Tableaux de variations :
    Si \(a > 0\)
    \(x\)
    \(-\infty\)
    \(\alpha\)
    \(+\infty\)
    Var.
    \(+\infty\)
    \(\beta\)
    \(+\infty\)
    Si \(a < 0\)
    \(x\)
    \(-\infty\)
    \(\alpha\)
    \(+\infty\)
    Var.
    \(-\infty\)
    \(\beta\)
    \(-\infty\)

Objectifs & Utilité pratique

  • Lecture stratégique : Donne immédiatement l'allure de la courbe, son sens de variation et sa valeur extrémale sans calculs lourds.
  • Problèmes d'Optimisation : Permet de modéliser et trouver instantanément un maximum ou un minimum (ex: maximiser le bénéfice d'une entreprise, trouver la hauteur maximale d'un projectile).
📝 Exercice 1 : Maîtrise Technique – Passage à la Forme Canonique (Difficulté Progressive • à •••)

Consigne :

Pour chacun des polynômes du second degré suivants, déterminer sa forme canonique \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\) en calculant pas à pas les paramètres \(\alpha\) et \(\beta\).

Conseil de méthode : Identifier clairement \(a\), \(b\) et \(c\) depuis la forme développée, appliquer \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) puis évaluer \(\beta = f(\alpha)\).

Niveau Vert (Éléments de base)
  1. \(f_1(x) = x^2 - 2x - 7\)
  2. \(f_2(x) = x^2 + 4x + 5\)
  3. \(f_3(x) = x^2 - 6x\)
  4. \(f_4(x) = -x^2 + 8x - 12\)
Niveau Orange (Coefficients & Fractions)
  1. \(f_5(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
  2. \(f_6(x) = x^2 + 3x + 1\)
  3. \(f_7(x) = 4x^2 - x - 7\)
  4. \(f_8(x) = -5x^2 + \frac{4}{5}x\)
Niveau Rouge (Technique & Racines)
  1. \(f_9(x) = \frac{-3}{5}x^2 + x - \frac{7}{4}\)
  2. \(f_{10}(x) = -\sqrt{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 4\)
📝 Exercice 2 : Changement de Regard et Tableaux de Variations (Difficulté ••◦)

Consigne :

Pour chacune des fonctions suivantes, dresser son tableau de variations complet sur \(\mathbb{R}\).
Vous veillerez à justifier l'orientation de la parabole, à calculer les coordonnées exactes du sommet \(\mathcal{S}(\alpha \;;\; \beta)\) et à adapter la structure du tableau.

Conseil méthodologique : Attention, les fonctions ne sont pas toutes données sous la même forme. Identifiez d'abord s'il s'agit d'une forme canonique, développée ou factorisée avant d'activer vos outils.

  • Fonction 1 :
    \(f_1(x) = (x - 4)^2 + 7\)
  • Fonction 2 :
    \(f_2(x) = 3x^2 - 5x + 1\)
  • Fonction 3 :
    \(f_3(x) = (x - 4)(x + 2)\)
  • Fonction 4 :
    \(f_4(x) = -2(x + 3)^2 - 5\)
  • Fonction 5 :
    \(f_5(x) = -x^2 + 4x\)
📝 Exercice 3 : Méta-Apprentissage Géo-Algébrique – Allure & Forme Canonique (Difficulté ••◦)

Question 1 : De l'Algèbre vers la Géométrie

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par sa forme canonique : \(f(x) = -2(x - 3)^2 + 4\).
Sur votre cahier, esquisser l'allure générale de sa parabole représentative. Vous ferez apparaître clairement l'orientation des branches ainsi que les coordonnées du sommet \(\mathcal{S}\).

Question 2 : De la Géométrie vers l'Algèbre

Le graphique ci-dessous représente la parabole d'une fonction \(g\). Chaque carreau correspond à une unité graphique.
À l'aide des points mis en évidence, déterminer par le calcul l'expression exacte de sa forme canonique \(g(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\).

x y O
📝 Exercice 4 : Modélisation Économique – Optimisation d'une Production de Smartphones (Difficulté •••)

Énoncé :

Une usine technologique assemble de nouveaux modèles de smartphones. Sa capacité de production quotidienne lui permet de fabriquer entre 0 et 80 appareils par jour.

Le coût de fabrication de \(x\) smartphones, exprimé en euros, est modélisé par la fonction : \[C(x) = x^2 + 40x + 600\] Chaque smartphone produit est vendu au prix unitaire fixe de 160 € et l'intégralité de la production quotidienne est vendue.

  1. Exprimer la recette totale quotidienne \(R(x)\) perçue par l'entreprise en fonction du nombre \(x\) de smartphones vendus.
  2. Justifier que le bénéfice quotidien \(B(x)\), exprimé en euros, est modélisé sur l'intervalle \([0 \;;\; 80]\) par le polynôme du second degré : \[B(x) = -x^2 + 120x - 600\]
  3. Déterminer la forme canonique de la fonction bénéfice \(B(x)\).
  4. En déduire, en justifiant rigoureusement à l'aide des variations de la fonction, le nombre exact de smartphones que l'usine doit assembler chaque jour pour obtenir un bénéfice optimal. Préciser le montant en euros de ce bénéfice maximal.
📝 Exercice 5 : Problème Géométrique – Optimisation et Aire Minimale (Difficulté •••)

Énoncé :

On considère un carré \(ABCD\) de côté 6 cm.
On place un point \(M\) sur le segment \([AB]\), un point \(N\) sur \([BC]\), un point \(P\) sur \([CD]\) et un point \(Q\) sur \([DA]\) tels que : \[AM = BN = CP = DQ = x\] On s'intéresse à l'aire du quadrilatère \(MNPQ\) ainsi formé au centre du carré.
A B C D M N P Q x x
  1. Quelles sont les valeurs possibles que peut prendre la variable \(x\) ?
  2. Justifier avec rigueur que l'aire du quadrilatère \(MNPQ\), exprimée en \(\text{cm}^2\), vaut : \[\mathcal{A}(x) = 2x^2 - 12x + 36\]
  3. Pour quelle valeur de \(x\) l'aire du quadrilatère est-elle minimale ? Quelle est la valeur de cette aire minimale ?

Forme Factorisée

Section III : Racines & Intersections

Définitions & Vocabulaire

On appelle racine d'un polynôme du second degré toute valeur de la variable \(x\) qui annule la fonction, c'est-à-dire qui vérifie l'équation :

\(f(x) = 0\)

Géométriquement, les racines correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe horizontal.

Le discriminant est un outil d'analyse algébrique permettant de détecter l'existence et le nombre de ces racines. Il est traditionnellement noté par la lettre grecque \(\Delta\) (Delta) et se calcule par la formule :

\(\Delta = b^2 - 4ac\)
Intersections avec l'axe (\(x\)) xy Racine 1 Racine 2

Propriétés fondamentales

  • Le discriminant teste le nombre de racines :
    Si \(\Delta < 0\) Il n'existe aucune racine réelle.
    \(S = \emptyset\)
    Si \(\Delta = 0\) Il existe 1 racine unique (double) :
    \(x_0 = -\frac{b}{2a}\)
    Si \(\Delta > 0\) Il existe 2 racines distinctes :
    \(x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)  |  \(x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
  • Écriture sous forme factorisée :
    Selon la valeur de \(\Delta\), l'expression développée \(f(x) = ax^2 + bx + c\) peut se réécrire sous forme de produit :
    Si \(\Delta < 0\) Pas de factorisation réelle possible.
    Si \(\Delta = 0\)
    \(f(x) = a(x - x_0)^2\)
    Si \(\Delta > 0\)
    \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Cas où \(a > 0\) (Sourire)
\(\Delta < 0\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
Signe
+
\(\Delta = 0\)
\(-\infty\)
\(x_0\)
\(+\infty\)
Signe
+
0
+
\(\Delta > 0\)
\(-\infty\)
\(x_1\)
\(x_2\)
\(+\infty\)
Signe
+
0
-
0
+
Cas où \(a < 0\) (Triste)
\(\Delta < 0\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
Signe
-
\(\Delta = 0\)
\(-\infty\)
\(x_0\)
\(+\infty\)
Signe
-
0
-
\(\Delta > 0\)
\(-\infty\)
\(x_1\)
\(x_2\)
\(+\infty\)
Signe
-
0
+
0
-

Objectifs & Utilité pratique

  • Résolution d'Équations : La forme factorisée transforme une équation complexe de degré 2 en une équation produit-nul élémentaire du type \(A \times B = 0\), rendant la recherche de solutions immédiate.
  • Résolution d'Inéquations : C'est l'outil indispensable pour étudier les variations de signes complexes et déterminer précisément les zones de positivité ou de négativité.
  • Analyse de Seuils : Permet de modéliser et résoudre des problèmes concrets de franchissement de seuils (ex: déterminer à partir de quel volume de ventes une entreprise passe d'un état de déficit à une situation de bénéfice net réel).
📝 Exercice 1 : Calcul de Discriminant et Recherche de Racines (Difficulté Progressive • à •••)

Consigne :

Pour chacun des polynômes du second degré suivants :
  1. Calculer la valeur exacte de son discriminant \(\Delta\).
  2. En déduire le nombre de racines réelles du polynôme.
  3. Déterminer la valeur exacte de ces racines lorsqu'elles existent.

Conseil de méthode : Identifiez soigneusement les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) avant d'appliquer la formule \(\Delta = b^2 - 4ac\). Soyez vigilant avec la gestion des signes négatifs.

Niveau Vert (Entiers & Racines Évidentes)
  1. \(f_1(x) = x^2 - 5x + 6\)
  2. \(f_2(x) = x^2 - 6x + 9\)
  3. \(f_3(x) = x^2 + 3x + 5\)
  4. \(f_4(x) = -x^2 + 2x + 8\)
Niveau Orange (Coefficients & Simplifications)
  1. \(f_5(x) = 2x^2 - 7x + 3\)
  2. \(f_6(x) = x^2 - 4x - 1\) (Racine carrée non entière)
  3. \(f_7(x) = 3x^2 + 6x + 3\)
  4. \(f_8(x) = 2x^2 - 3x + 4\)
Niveau Rouge (Fractions & Formes Incomplètes)
  1. \(f_9(x) = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3\)
  2. \(f_{10}(x) = 4x^2 - 25\) (Sans terme en x)
📝 Exercice 2 : Racines Évidentes et Systèmes d'Équations (Difficulté ••◦)

Partie A : Technique de la racine évidente

  1. On considère le polynôme \(f(x) = 3x^2 - 5x - 2\).
    1. Vérifier que le nombre \(2\) est une racine évidente de \(f\).
    2. En utilisant les propriétés de la somme ou du produit des racines, en déduire instantanément la valeur exacte de la deuxième racine sans calculer le discriminant \(\Delta\).
  2. On considère le polynôme \(g(x) = -2x^2 + 7x - 5\).
    1. Déterminer une racine évidente entière parmi les valeurs \(\{-1 \;;\; 1\}\).
    2. En déduire la valeur de la seconde racine sous forme de fraction irréductible.

Partie B : Recherche de deux nombres dont on connaît la somme et le produit

3. On cherche à déterminer deux nombres réels inconnus \(x\) et \(y\) liés par les deux conditions simultanées suivantes :

\[\begin{cases} x + y = 10 \\ x \times y = 16 \end{cases}\]
  1. Justifier que la résolution de ce système revient mathématiquement à chercher les racines du polynôme du second degré \(X^2 - 10X + 16 = 0\).
  2. Résoudre cette équation et en déduire les couples de solutions \((x \;;\; y)\) possibles pour le système initial.
📝 Exercice 3 : Équations, Signes et Inéquations Non Nul (Difficulté ••◦)

Conseil méthodologique : Face à une comparaison non nulle, regroupez d'abord tous les termes du même côté du signe afin de vous ramener à une étude classique face à zéro.

Partie A : Résolution d'Équations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes en transposant les termes nécessaires :

  1. \(x^2 - 4x = 5\)
  2. \(2x^2 + 5x = -2\)
  3. \(-x^2 + 3x + 8 = 2x + 2\)
  1. \(3x^2 + 7x + 1 = x^2 + 2x + 4\)
  2. \(x^2 - 6x + 13 = 4\)

Partie B : Construction de Tableaux de Signes

Dresser le tableau de signes complet sur \(\mathbb{R}\) des polynômes du second degré simplifiés suivants :

  1. \(A(x) = x^2 - x - 12\)
  2. \(B(x) = -2x^2 + 8x - 8\)
  3. \(C(x) = 3x^2 + 2x + 1\)
  1. \(D(x) = -x^2 + 3x + 10\)
  2. \(E(x) = -2x^2 - x - 3\)

Partie C : Résolution d'Inéquations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions \(S\) sous forme d'intervalles :

  1. \(2x^2 - 3x \leqslant 2x + 3\)
  2. \(-3x^2 + 4x + 10 > 3\)
  3. \(x^2 - 7x + 20 \leqslant 3x - 5\)
  1. \(-x^2 + 5x - 2 \geqslant 4x + 2\)
  2. \(5x^2 - 2x + 1 < 6x - 2\)
  3. \(-2x^2 + 5 \leqslant 2x + 10\)
📝 Exercice 4 : Problème de Synthèse – Analyse de Rentabilité et Optimisation (Difficulté •••)

Énoncé :

Un créateur de contenus vidéo sur internet analyse les performances financières de sa chaîne. Pour \(x\) milliers d'abonnés payants, avec \(x \in [0 \;;\; 100]\), on estime que :

• Les frais de structure mensuels (serveurs, montage, matériel), exprimés en centaines d'euros, suivent la fonction de coût : \[C(x) = 2x^2 + 10x + 150\] • Chaque millier d'abonnés payants rapporte une recette brute fixe de 170 centaines d'euros par mois à la chaîne.

  1. Partie 1 : Étude de Seuil (La Rentabilité)
    1. Justifier que le bénéfice net mensuel \(B(x)\), exprimé en centaines d'euros, est modélisé sur l'intervalle \([0 \;;\; 100]\) par le polynôme du second degré : \[B(x) = -2x^2 + 160x - 150\]
    2. Dresser le tableau de signes complet de la fonction \(B\) sur son ensemble de définition.
    3. En déduire le seuil de rentabilité de la chaîne. C'est-à-dire le nombre minimal et le nombre maximal d'abonnés payants nécessaires pour que le créateur ne travaille pas à perte (\(B(x) \geqslant 0\)).
  2. Partie 2 : Recherche de l'Optimisation (Le Bénéfice Maximal)
    1. Déterminer la forme canonique de la fonction bénéfice \(B(x)\).
    2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(B\) sur l'intervalle \([0 \;;\; 100]\).
    3. En déduire le nombre exact d'abonnés payants permettant d'obtenir le bénéfice mensuel maximal. Préciser le montant en euros de ce bénéfice optimal.
📝 Exercice 5 : Problème de Synthèse Géométrique – Contrainte d'Aire et Optimisation (Difficulté •••)

Énoncé :

Un maraîcher dispose d'un rouleau de grillage d'une longueur totale de 40 mètres pour clôturer une parcelle de terrain rectangulaire adossée à un grand mur en pierre tout droit. Il n'a donc besoin de grillage que sur les trois autres côtés du rectangle.

On note \(x\) la largeur en mètres des deux côtés perpendiculaires au mur. On s'intéresse à l'aire \(\mathcal{A}(x)\) de cette parcelle de culture.
Grand mur en pierre Zone de culture x x
  1. Partie 1 : Modélisation et Contrainte de Seuil (L'Espace minimal)
    1. Justifier rigoureusement que la longueur du troisième côté parallèle au mur vaut \(40 - 2x\), puis en déduire que l'aire de la parcelle est modélisée par : \[\mathcal{A}(x) = -2x^2 + 40x\]
    2. Pour des raisons de rotation des cultures, le maraîcher impose que la surface de cette parcelle soit supérieure ou égale à \(150\text{ m}^2\). Montrer que cette contrainte revient à résoudre l'inéquation : \[-2x^2 + 40x - 150 \geqslant 0\]
    3. Résoudre cette inéquation à l'aide d'un tableau de signes et déterminer la **plage de valeurs** (le seuil géométrique) dans laquelle doit se situer la largeur \(x\) pour valider cette contrainte.
  2. Partie 2 : Recherche de l'Optimisation (L'Aire Maximale)
    1. Déterminer la forme canonique de la fonction d'aire \(\mathcal{A}(x)\).
    2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(\mathcal{A}\) sur son intervalle d'étude physique \([0 \;;\; 20]\).
    3. En déduire les dimensions exactes (largeur et longueur) du rectangle qui permettent de maximiser la zone de culture. Préciser la valeur de cette **aire maximale**.